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不得不吐槽一下有时做题看答案时，答案总是列个公式就给结果了（公式我也会列啊，但我就是不会算啊🙄

比如今天做到的：

∫02πx2+1 dx\int_0^{2\pi} {\sqrt{x^2+1}} \,{\rm d}x

通过换元（令x=tan(t)x=tan(t)）后可以转化为求：

∫sec3(t) dt\int {sec^3(t)} \,{\rm d}t

然后就不会搞了，查Wlofram时，Wolfram又给了一个公式（同样是没过程… (╯‵□′)╯︵┻━┻）：

∫secm(u) du=sin(u)secm−1(u)m−1+m−2m−1∫secm−2(u) du\int {sec^m(u)} \,{\rm d}u = \frac{sin(u)sec^{m-1}(u)}{m-1} + \frac{m-2}{m-1} \int {sec^{m-2}(u)} \,{\rm d}u

把m=3m=3代一下就出结果了，但是问题好像是变复杂了，因为他没给推导过程（也可能只是因为wtcl - -）。所以这里就水个贴写一下这个过程。

首先看Wolfram给的公式的结构大概看出了是用分布积分法的，然后推的时候其实还用到了积分再现，和一个神奇的公式：

tan2x=sec2x−1tan^2x = sec^2x-1

首先从比较简单的sec3(x)sec^3(x)开始说，用分部积分的话首先要拆成两部分，因为是3次方，可能性比较大的两种可能就是sec(x)sec(x)和sec2(x)sec^2(x)了。然后sec(x)sec(x)用来求导，sec2(x)sec^2(x)用来积分（用的是张宇的表格法，但是LaTeX\LaTeX画表格比较麻烦，而我又比较懒）

首先：

(sec(x))′=sec(x)tan(x)∫sec2(x) dx=tan(x)∫sec(x) dx=ln∣sec(x)+tan(x)∣\begin{align} (sec(x))' &= sec(x)tan(x) \\ \int {sec^2(x)} \,{\rm d}x &= tan(x) \\ \int {sec(x)} \,{\rm d}x &= ln|sec(x)+tan(x)| \end{align}

于是：

∫sec3(t) dt=sec(t)tan(t)−∫sec(t)∗tan2(t) dt=sec(t)tan(t)−∫sec(t)∗(sec2(t)−1) dt=sec(t)tan(t)−∫(sec3(t)−sec(t)) dt=sec(t)tan(t)−∫(sec3(t)) dt+∫(sec(t)∗) dt=sec(t)tan(t)+ln∣sec(x)+tan(x)∣−∫(sec3(t)) dt\begin{align} \int {sec^3(t)} \,{\rm d}t &= sec(t)tan(t) - \int {sec(t)*tan^2(t)} \,{\rm d}t \\ &= sec(t)tan(t) - \int {sec(t)*(sec^2(t)-1)} \,{\rm d}t \\ &= sec(t)tan(t) - \int {(sec^3(t)-sec(t))} \,{\rm d}t \\ &= sec(t)tan(t) - \int {(sec^3(t))} \,{\rm d}t+\int {(sec(t)*)} \,{\rm d}t \\ &= sec(t)tan(t) + ln|sec(x)+tan(x)| - \int {(sec^3(t))} \,{\rm d}t \\ \end{align}

中间用到了哪个神奇的公式，然后积分再现也出来了，把−∫(sec3(t)) dt- \int {(sec^3(t))} \,{\rm d}t移到左边，就有：

2∫sec3(t) dt=sec(t)tan(t)+ln∣sec(x)+tan(x)∣∫sec3(t) dt=sec(t)tan(t)+ln∣sec(x)+tan(x)∣2+C\begin{align} 2\int {sec^3(t)} \,{\rm d}t &= sec(t)tan(t) + ln|sec(x)+tan(x)| \\ \int {sec^3(t)} \,{\rm d}t &= \frac{sec(t)tan(t) + ln|sec(x)+tan(x)| }{2} + C \end{align}

然后求secm(x)sec^m(x)也是用类似的方法，拆成secm−2(x)sec^{m-2}(x)和sec2(x)sec^2(x)，secm−2(x)sec^{m-2}(x)做求导，sec2(x)sec^2(x)做积分

(sec(x))′=(m−2)secm−3(x)∗sec(x)tan(x)=(m−2)secm−2(x)tan(x)∫sec2(x) dx=tan(x)\begin{align} &(sec(x))' = (m-2)sec^{m-3}(x)*sec(x)tan(x) = (m-2)sec^{m-2}(x)tan(x) \\ &\int {sec^2(x)} \,{\rm d}x = tan(x) \end{align}

分部积分：

∫secm(t) dt=secm−2tan(x)−(m−2)∫secm−2(t)tan2(t) dt=secm−2tan(x)−(m−2)∫secm−2(t)(sec2(t)−1) dt=secm−2tan(x)−(m−2)∫secm(t)−secm−2(t) dt=secm−2tan(x)+(m−2)∫secm−2(t) dt−(m−2)∫secm(t) dt\begin{align} \int {sec^m(t)} \,{\rm d}t &= sec^{m-2}tan(x) - (m-2)\int {sec^{m-2}(t)tan^2(t)} \,{\rm d}t \\ &= sec^{m-2}tan(x) - (m-2)\int {sec^{m-2}(t)(sec^2(t)-1)} \,{\rm d}t \\ &= sec^{m-2}tan(x) - (m-2)\int {sec^m(t)-sec^{m-2}(t)} \,{\rm d}t \\ &= sec^{m-2}tan(x) + (m-2)\int {sec^{m-2}(t)} \,{\rm d}t - (m-2)\int {sec^m(t)} \,{\rm d}t \end{align}

积分再现：

∫secm(t) dt=secm−2tan(x)+(m−2)∫secm−2(t) dt−(m−2)∫secm(t) dt(m−1)∫secm(t) dt=secm−2tan(x)+(m−2)∫secm−2(t) dt∫secm(t) dt=secm−2tan(x)+(m−2)∫secm−2(t) dtm−1+C\begin{align} \int {sec^m(t)} \,{\rm d}t &= sec^{m-2}tan(x) + (m-2)\int {sec^{m-2}(t)} \,{\rm d}t - (m-2)\int {sec^m(t)} \,{\rm d}t \\ (m-1)\int {sec^m(t)} \,{\rm d}t &= sec^{m-2}tan(x) + (m-2)\int {sec^{m-2}(t)} \,{\rm d}t \\ \int {sec^m(t)} \,{\rm d}t &= \frac{sec^{m-2}tan(x) + (m-2)\int {sec^{m-2}(t)} \,{\rm d}t}{m-1} +C \end{align}